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\def\independenT#1#2{\mathrel{\rlap{$#1#2$}\mkern2mu{#1#2}}}

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\begin{document}

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%	TITLE PAGE
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\begin{titlepage}\label{Title page}
\begin{center}

\textsc{\LARGE \univname}\\[0.5cm] % University name
\href{www.ensae.fr}{\includegraphics[keepaspectratio=true,height=3cm]{logo_ensae.png}} \\[0.5cm]
\textsc{\Large Mémoire d'actuariat}\\[0.5cm] % Thesis type

\HRule \\[0.4cm] % Horizontal line
{\huge \onehalfspacing \bfseries \ttitle}\\[0.4cm] % Thesis title
\HRule \\[1.5cm] % Horizontal line
 
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{flushleft} \large
\emph{Présenté par:}\\
%\href{http://www.johnsmith.com}
{\authornames} % Author name - remove the \href bracket to remove the link
\end{flushleft}

\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{flushright} \large
\emph{Suivi par:} \\
%\href{http://www.jamessmith.com}
{\supname} % Supervisor name - remove the \href bracket to remove the link  
\end{flushright}
\end{minipage}\\[3cm]
 
\large \textbf{Mémoire présenté devant l'\univshortname} \\ \textbf{pour l'obtention du diplôme \degreename}\\ %[0.3cm] % U niversity requirement text
\textbf{et l'admission à \deptname} %[0.4cm]
%\groupname\\
\\[2cm] % Research group name and department name
 
{\large \mydate\today}\\[4cm] % Date
%\includegraphics{Logo} % University/department logo - uncomment to place it
 
\vfill
\end{center}

\end{titlepage}

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%	DECLARATION PAGE
%	Your institution may give you a different text to place here
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%\Declaration{
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%\addtocontents{toc}{\vspace{1em}} % Add a gap in the tents, for aesthetics
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%I, \authornames, declare that this thesis titled, '\ttitle' and the work presented in it are my own. I confirm that:
%
%\begin{itemize} 
%\item[\tiny{$\blacksquare$}] This work was done wholly or mainly while in candidature for a research degree at this University.
%\item[\tiny{$\blacksquare$}] Where any part of this thesis has previously been submitted for a degree or any other qualification at this University or any other institution, this has been clearly stated.
%\item[\tiny{$\blacksquare$}] Where I have consulted the published work of others, this is always clearly attributed.
%\item[\tiny{$\blacksquare$}] Where I have quoted from the work of others, the source is always given. With the exception of such quotations, this thesis is entirely my own work.
%\item[\tiny{$\blacksquare$}] I have acknowledged all main sources of help.
%\item[\tiny{$\blacksquare$}] Where the thesis is based on work done by myself jointly with others, I have made clear exactly what was done by others and what I have contributed myself.\\
%\end{itemize}
% 
%Signed:\\
%\rule[1em]{25em}{0.5pt} % This prints a line for the signature
% 
%Date:\\
%\rule[1em]{25em}{0.5pt} % This prints a line to write the date
%}
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%	QUOTATION PAGE
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%\pagestyle{empty} % No headers or footers for the following pages
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%\null\vfill % Add some space to move the quote down the page a bit
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%\textit{``Thanks to my solid academic training, today I can write hundreds of words on virtually any topic without possessing a shred of information, which is how I got a good job in journalism."}
%
%\begin{flushright}
%Dave Barry
%\end{flushright}
%
%\vfill\vfill\vfill\vfill\vfill\vfill\null % Add some space at the bottom to position the quote just right
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%	ABSTRACT PAGE
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\addtotoc{Résumé} \label{Résumé}% Add the "Abstract" page entry to the Contents
\abstractfr{\addtocontents{toc}{\vspace{1em}} % Add a gap in the Contents, for aesthetics


Dans le contexte du réchauffement climatique, la région des Caraïbes est de plus en plus touchée par des catastrophes naturelles en tout genre : ouragans, tempêtes tropicales, séismes ou encore inondations. Pour faire face à ces aléas climatiques, le premier pool d’assurance multi-pays à but non lucratif a vu naître le jour : le \textit{Caribbean Catastrophe Risk Insurance Facility} (CCRIF). Il s’agit d’un fonds régional de couverture des risques catastrophiques pour les Etats des Caraïbes conçu pour limiter l’impact économique des catastrophes naturelles en fournissant aux gouvernements des ressources suffisantes dans de brefs délais.\\ \\
Le CCRIF offre exclusivement des produits d’assurance paramétrique aux gouvernements des Caraïbes. A l’inverse d’une assurance classique, les indemnités ne sont pas reversées en fonction des dégâts réels mais selon la mesure d’un indice paramétrique défini dans le contrat. Les produits existant couvrent les tremblements de terre et les Ouragans.\\ \\
Le mécanisme initial du CCRIF ne couvre cependant pas le risque de pluie torrentielle, pourtant fréquent dans les Caraïbes. C’est la raison pour laquelle un produit d’assurance paramétrique de couverture du risque de pluie extrême a été développé avec l’expertise de Swiss Re. Les pluies extrêmes sont détectées puis indemnisées en fonction d’un indice agrégeant les précipitations sur l'ensemble du pays concerné. Ce produit, nommé XSR, a été lancé pour la première fois en Jamaïque en 2013 et fera l'objet d'étude de ce mémoire.\\ \\
Après avoir fait l’état des lieux du produit XSR, l’objectif est de caractériser la distribution de probabilité de l’indice paramétrique afin de pouvoir tarifier le produit. Le coût actuariel d’une couverture pour la Jamaïque sera analysé en fonction du type de contrat. La consistance du modèle sera mise à l’épreuve et des sensibilités sur le produit seront calculées.

\vspace{1.5cm}

\noindent \textbf{Mots-clés} : Pluies torrentielles, CCRIF, Théorie des Valeurs Extrêmes, \textit{Generalized Pareto Distribution}, Chaînes de Markov, Copules, Prime pure, Indice paramétrique.
}

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\addtotoc{Abstract} \label{Abstract} % Add the "Abstract" page entry to the Contents
%\lhead{Résumé}
%\rhead{Mémoire d'actuariat}
\abstract{\addtocontents{toc}{\vspace{1em}}

\noindent In the context of global warming, the Caribbean has been increasingly affected by natural disasters such as hurricanes, tropical storms, earthquakes and floods. To cope with climatic hazards, the first non-profit multi-country risk pool was launched in 2007: the Caribbean Catastrophe Risk Insurance Facility (CCRIF). This regional fund is designed to limit the economic impact of natural disasters by providing governments with sufficient resources in a short period of time.\\ \\
The CCRIF offers parametric insurance products exclusively to Caribbean countries. Unlike conventional insurance, payments are not made according to the damage observed on the ground but according to the measure of a parametric index defined in the contract. The CCRIF has offered parametric insurance products that provide coverage for hurricanes and earthquakes since 2007.\\ \\
However, the initial CCRIF mechanism doesn’t provide coverage of extreme rainfall that often affects the Caribbean. Thus, the CCRIF began a partnership in June 2013 with Swiss Re to offer a new coverage for excess rainfall. Extreme rainfalls are detected using an index which aggregates rainfall in several geographic areas of the country. This product, called XSR, was launched for the first time in Jamaica in June 2013 and will be the main topic of this thesis.\\ \\
After introducing the XSR product, the probability distribution of the parametric index will be characterized in order to price the product. The actuarial cost of coverage for Jamaica will be analyzed according to the type of contract selected. At the end, the consistency of the model will be tested and several sensitivities will be calculated on the product.

\vspace{1.5cm}

\noindent \textbf{Keywords}: Extreme Rainfall, CCRIF, Extreme Value Theory, Generalized Pareto Distribution, Markov Chain, Copula, Pure Premium, Parametric Index.
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%	ACKNOWLEDGEMENTS
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\setstretch{1.3} % Reset the line-spacing to 1.3 for body text (if it has changed)

\acknowledgements{\addtocontents{toc}{\vspace{1em}} % Add a gap in the Contents, for aesthetics

Nous tenons à remercier Pierre PICARD et Eric STROBL pour l'encadrement de ce mémoire, leur disponibilité et leur confiance. Nous adressons aussi nos remerciements à Oliver LOPEZ, correspondant de la voie Actuariat à l'ENSAE, pour sa compréhension du sujet, ses remarques et sa bonne humeur. Enfin, nous souhaitons remercier Aurélie MULLER-GUEDIN, Maître de Conférences à l'Université de Lorraine, pour ses échanges par courrier électronique et ses travaux qui nous ont inspiré. 
}
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%	LIST OF CONTENTS/FIGURES/TABLES PAGES
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\lhead{\emph{Table des Matières}} % Set the left side page header to "Contents"
\tableofcontents % Write out the Table of Contents

%\lhead{\emph{Table des figures}} % Set the left side page header to "List of Figures"
%\listoffigures % Write out the List of Figures

%\lhead{\emph{List of Tables}} % Set the left side page header to "List of Tables"
%\listoftables % Write out the List of Tables

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%	ABBREVIATIONS
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%\clearpage % Start a new page
%
%\setstretch{1.5} % Set the line spacing to 1.5, this makes the following tables easier to read
%
%\lhead{\emph{Abbreviations}} % Set the left side page header to "Abbreviations"
%\listofsymbols{ll} % Include a list of Abbreviations (a table of two columns)
%{
%\textbf{LAH} & \textbf{L}ist \textbf{A}bbreviations \textbf{H}ere \\
%%\textbf{Acronym} & \textbf{W}hat (it) \textbf{S}tands \textbf{F}or \\
%}

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%	PHYSICAL CONSTANTS/OTHER DEFINITIONS
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%
%\clearpage % Start a new page
%
%\lhead{\emph{Physical Constants}} % Set the left side page header to "Physical Constants"
%
%\listofconstants{lrcl} % Include a list of Physical Constants (a four column table)
%{
%Speed of Light & $c$ & $=$ & $2.997\ 924\ 58\times10^{8}\ \mbox{ms}^{-\mbox{s}}$ (exact)\\
%% Constant Name & Symbol & = & Constant Value (with units) \\
%}

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%	SYMBOLS
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%\clearpage % Start a new page
%
%\lhead{\emph{Symbols}} % Set the left side page header to "Symbols"
%
%\listofnomenclature{lll} % Include a list of Symbols (a three column table)
%{
%$a$ & distance & m \\
%$P$ & power & W (Js$^{-1}$) \\
%% Symbol & Name & Unit \\
%
%& & \\ % Gap to separate the Roman symbols from the Greek
%
%$\omega$ & angular frequency & rads$^{-1}$ \\
%% Symbol & Name & Unit \\
%}

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%	DEDICATION
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%\setstretch{1.3} % Return the line spacing back to 1.3

%\pagestyle{empty} % Page style needs to be empty for this page

%\dedicatory{For/Dedicated to/To my\ldots} % Dedication text

%\addtocontents{toc}{\vspace{2em}} % Add a gap in the Contents, for aesthetics

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%	THESIS CONTENT - CHAPTERS
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\mainmatter % Begin numeric (1,2,3...) page numbering

\pagestyle{fancy} % Return the page headers back to the "fancy" style

\input{Introduction}

\part{Etat des lieux et produit XSR}
\input{Chapters/Chapter1}
\input{Chapters/Chapter2}
\input{Chapters/Chapter3}
\chapter*{Conclusion de la première partie}
Nous avons utilisé le maximum d’information dont nous avions à disposition pour calculer les indices nationaux du produit XSR. La courbe de vulnérabilité ne nous ayant pas été communiquée par le CCRIF, nous avons décidé de rester sur une forme linéaire simple. De même, la construction de la fonction de dommage s’est avérée délicate dans le sens où les données sur les dégâts historiques sont manquantes. Mais la détermination de ces deux dernières courbes ne constitue pas un point crucial dans la tarification du contrat. En effet, les paramètres de ces fonctions sont déterminés dès la signature du contrat et peuvent être demandés explicitement par la Jamaïque. La pluie est le facteur qui constitue la variable aléatoire du contrat, et c’est elle que nous allons tenter de modéliser dans la seconde partie du mémoire.

\part{Modélisation statistique de l'indice paramétrique}

\chapter*{Modélisation statistique de l'indice paramétrique}
Après avoir identifié les événements locaux et nationaux sur les 15 dernières années, le problème essentiel consiste à trouver la prime du produit XSR, c’est-à-dire le coût actuariel qu’engendre une couverture contre les pluies torrentielles en Jamaïque. Le profil de risque de la Jamaïque est donné par les expositions sur les 28 zones géographiques, la courbe de vulnérabilité à la pluie et les précipitations. Pour tarifier correctement le contrat XSR, il est nécessaire de comprendre le comportement des pluies. Cette partie consiste à modéliser au plus juste les précipitations afin d’anticiper les indemnités reversées probables et donc la prime du contrat. La première étape consiste à modéliser les pluies journalières afin d’en déduire les pluies agrégées sur 5 jours puis les indices locaux. Nous verrons les limites de cette méthodologie et tenterons de modéliser dans une seconde étape les pics journaliers sur chacune des cellules de façon indépendante par la théorie des valeurs extrêmes. Enfin, nous tenterons de modéliser la dépendance des pics de pluie entre cellules afin d’obtenir la dynamique de l’indice national.

\input{Chapters/Chapter4}
\input{Chapters/Chapter5}
\input{Chapters/Chapter6}

\chapter*{Conclusion de la deuxième partie} 
En modélisant les pluies journalières, nous nous sommes rendu compte que le nombre d'événements extrêmes ainsi que leurs pics étaieant sous-estimés. Pour remédier à ce problème, nous avons directement modélisé les dépassements du seuil des pluies agrégées grâce à la théorie des valeurs extrêmes. Cette modélisation donne lieu à la distribution des indices locaux mais ne prend pas en compte leur dépendance, et c'est pour cela que nous avons utilisé des copules. Cette étape de modélisation est nécessaire à la tarification du produit XSR que nous allons aborder dans le partie suivante.


\part{Tarification et risques liés au produit XSR}

\chapter*{Tarification et risques liés au produit XSR}

Après avoir fait l’état des lieux du produit XSR et modélisé la dynamique de l’indice paramétrique du produit, nous souhaitons dans ce chapitre étudier les risques sous-jacents à la couverture contre les pluies torrentielles offerte par le CCRIF. Dans un premier temps, nous tenterons de quantifier le risque en calculant la prime pure du contrat à l’aide de plusieurs méthodologies. Dans un second temps, nous essayerons de calculer plusieurs sensibilités de l’indice pour analyser le risque de base. Enfin, nous terminerons cette partie en introduisant la problématique de réassurance et de titrisation des risques à travers le marché des Cat bonds.

\input{Chapters/Chapter7}
\input{Chapters/Chapter8}
\input{Chapters/Chapter9}

\chapter*{Conclusion de la troisième partie}
Le chapitre \ref{Chapter7} a montré que le calcul des primes était différent suivant la structure de couverture proposée par le CCRIF. En effet, l’agrégation des indices locaux dans l’indice national illustre l’importance de l’agrégation des risques dans la tarification du contrat. En offrant des couvertures régionales indépendantes, le CCRIF ne considère pas la proximité géographique des pluies ce qui l’expose à une sous-estimation des risques au niveau national. Dès lors, la combinaison du modèle de copule avec celui des dépassements de seuil locaux apporte une structure de risque plus cohérente pour la tarification du produit XSR.

\noindent Dans le chapitre \ref{Chapter8}, nous avons calculé plusieurs sensibilités et avons montré que le modèle était globalement consistant à plusieurs modifications dont la fonction de vulnérabilité. En revanche, la prime est d’avantage modifiée selon le modèle de dépassement de seuil utilisé. Ces résultats confirment les informations données dans la brochure du produit XSR : la prime est équitable même si l’estimation de la fonction de vulnérabilité est incertaine car le risque dépend essentiellement des données de précipitations du pays.

\noindent Enfin, nous avons introduit les concepts de transfert de risque utilisés par le CCRIF comme la réassurance et la titrisation. Ces mécanismes permettent de garantir la pérennité du CCRIF face aux risques auxquels elle est exposée.
\bookmarksetup{startatroot}
\input{Conclusion}
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%	THESIS CONTENT - APPENDICES
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\addtocontents{toc}{\vspace{2em}} % Add a gap in the Contents, for aesthetics

\appendix % Cue to tell LaTeX that the following 'chapters' are Appendices
\part*{Annexes}
\addcontentsline{toc}{part}{Annexes}
%\addtocontents{toc}{Annexes}
% Include the appendices of the thesis as separate files from the Appendices folder
% Uncomment the lines as you write the Appendices

\input{Appendices/AppendixA}
\input{Appendices/AppendixB}
\input{Appendices/AppendixC}
\input{Appendices/AppendixD}
\bookmarksetup{startatroot}
\addtocontents{toc}{\vspace{2em}} % Add a gap in the Contents, for aesthetics

\backmatter

%----------------------------------------------------------------------------------------
%	BIBLIOGRAPHY
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\label{Bibliographie}
\nocite{*}
\lhead{\emph{Bibliographie}} % Change the page header to say "Bibliography"
%\bibliographystyle{unsrt-fr} 
%\bibliographystyle{smfplain}%
%\bibliographystyle{plain}%
%babamspl
%\bibliographystyle{plainnat}%
%\bibliographystyle{babamspl}%
%\bibliographystyle{unsrtnat} % Use the "unsrtnat" BibTeX style for formatting the Bibliography
\bibliographystyle{smfplain}
\bibliography{Bibliography} % The references (bibliography) information are stored in the file named "Bibliography.bib"

\end{document}  